OPERAÇÕES ELEMENTARES COM MATRIZES (2)

Produtos de vectores e transposição de matrizes

Existe um conjunto de regras importantes a fixar:

1) um vector linha e um vector coluna com a mesma dimensão podem ser multiplicados entre si;

2) quando multiplicamos um vector linha por um vector coluna obtemos um escalar;

3) quando multiplicamos um vector coluna por um vector linha obtemos uma matriz com as dimensões correspondentes às dos vectores multiplicados;

4) não podemos multiplicar dois vectores colunas entre si o mesmo, sendo verdade, para a multiplicação de dois vectores linha;

5) todavia, a multiplicação entre dois vectores linha ou coluna pode ser feita se usarmos a operação de transposição;

6) a multiplicação entre um vector coluna transposto e outro vector coluna (não transposto) é igual a um escalar. Esta multiplicação goza da propriedade comutativa, isto é, podemos multiplicar o segundo vector coluna transposto pelo primeiro vector coluna não transposto e o resultado será um escalar de valor igual ao anterior. 

Vou colocar aqui um exemplo que ilustre a regar mais complexa (a 6)):

Seja

X=[2;0;1]

X =

     2
     0
     1

e
Y=[3;2;1]

Y =

     3
     2
     1

Se eu fizer X*Y obtenho obviamente uma mensagem de erro:
Error using  *
Inner matrix dimensions must agree.

Mas se usar a operação de transposição já posso multiplicar estes dois vectores:

X'

ans =

     2     0     1

Z=X'*Y

Z =

     7

Y'

ans =

     3     2     1

Z=Y'*X

Z =

     7

Z tem o valor 7 e é igual independentemente da ordem pela qual os vectores são multiplicados, desde que se multiplique o vector coluna transposto pelo vector coluna não transposto.