Esta ferramenta é muito importante quando trabalhamos com sistemas de equações lineares. Vai ser igualmente importante quando estivermos a fazer a análise multivariada de dados matriciais (veremos este tópico um pouco mais adiante com dados reais).
Condição fundamental para executar a multiplicação de duas matrizes:
Para que [C]=[A]x[B] o número de colunas de [A] tem que ser igual ao número de linhas de [B].
Também podemos multiplicar uma matriz por um escalar.
Vejamos uns exemplos concretos, começando pela multiplicação de uma matriz por um escalar.
Definimos a matriz A:
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] (não esquecer os espaços entre os algarismos e os ; que separam cada linha)
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A seguir definimos um escalar:
e=7 (por uma questão de comodidade uso letras minúsculas para os escalares)
e =
7
A seguir faz-se a multiplicação
C=A*e
Obtendo-se o respectivo resultado:
C =
7 14 21
28 35 42
49 56 63
Como se pode ver cada elemento da matriz inicial A foi multiplicado pelo escalar (7). Um curiosidade apenas: como a matriz criada tem uma sucessão de números inteiros de 1 a 9 ao multiplicarmos essa matriz pelo valor 7 obtemos uma nova matriz que corresponde à tabuada dos 7 (faltando apenas o resultado 70).
Vamos definir uma segunda matriz B:
B=[10 11 12;13 14 15;16 17 18]
B =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
A e B são matrizes com a mesma dimensão e portanto estão em condições para poderem ser multiplicadas.
D =
84 90 96
201 216 231
318 342 366
Para quem não se lembra da regra da multiplicação de matrizes: o elemento (1,1) da matriz A multiplica o elemento (1,1) da matriz B; o elemento (1,2) da matriz A multiplica o elemento (2,1) da matriz B; o elemento (1,3) da matriz A multiplica o elemento (3,1) da matriz B. A seguir todos os valores destas multiplicações são somados e inseridos na posição (1,1) da matriz D. O processo repete nesta ordem até estarem todas as posições da matriz D ocupadas.
Para matrizes com dimensões diferentes:
F=[19 20 21;22 23 24;25 26 27]
F =
19 20 21
22 23 24
25 26 27
G=[28 29;30 31;32 33]
G =
28 29
30 31
32 33
O resultado será:
H=F*G
H =
1804 1864
2074 2143
2344 2422
Verifica-se pois que a matriz que resulta desta multiplicação (a H) tem formato igual ao da matriz mais pequena (a G), uma vez que na multiplicação de matrizes a regra geral é "cada elemento de uma linha de uma matriz vai multiplicar todos os elementos de uma coluna de outra matriz".
Será comutativa esta operação?
Aqui não podemos multiplicar G*F porque as dimensões não são compatíveis, mas podemos usar o exemplo anterior em que A e B têm as mesmas dimensões:
I=B*A
I =
138 171 204
174 216 258
210 261 312
e comparando com D
D =
84 90 96
201 216 231
318 342 366
Verificamos que I é diferente de D.
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