domingo, 17 de agosto de 2014

Viagem

Já chegámos?

Não, ainda faltam cerca de 30 minutos para o avião começar a descer.



sexta-feira, 23 de maio de 2014

Resolução de sistemas de equações não singulares



Nota prévia: uma matriz A (n x n) é não-singular se se verificarem as seguintes propriedades:
·        A tem uma inversa, designada por A-1;
·        O determinante de A (det(A)) é diferente de zero (det(A)¹0);
·        Para qualquer z¹ 0, A*z¹0.
2 Carlos
A resolução de sistemas de equações lineares (não singulares) é muito fácil com o Matlab. Vamos lidar com equações simples do tipo Ax=b em que A representa uma matriz dos coeficientes com dimensão m por n, x é o vector coluna das incógnitas e b é o vector correspondente aos termos independentes do sistema de equações.
Imaginemos que temos um sistema de 2 equações (cada uma com duas incógnitas e um termo independente):

7x+8y=100
2x-9y=10

Seguindo a forma clássica de resolução teríamos que separar as equações nos seus componentes (coeficientes, incógnitas e termos independentes) e fazer os cálculos através dos determinantes. Tarefa árdua!
Teríamos então que fazer o seguinte:

x = D1/D, em que D significa determinante;
y = D2/D
Assim, resolvendo os determinantes obtemos:

D = 7*(-9)-8*2=-79 (determinante dos coeficientes);
D1 = 100*(-9)-10*8=-980 (determinante dos termos independentes e do vector das “segundas” incógnitas (y));

D2 = 7*10-2*100=-130 (determinante dos termos independentes e do vector das “primeiras” incógnitas (x));

Calculando as respectivas razões obtemos as soluções para as duas incógnitas:
x = 12.4051
y = 1.6456
Com este procedimento facilmente se verifica a quantidade de cálculos que têm que ser feitos para chegar a uma solução (com o perigo de nos enganarmos nos sinais dos escalares). 

Com o Matlab tudo é mais simples pois só precisamos de decompor o sistema de equações e usar uma única instrução (\ - “backslash”). 

O sistema de equações usado como exemplo é do tipo Ax=b em que A representa a matriz dos coeficientes com dimensão n por n, x é o vector coluna das incógnitas (x e y) e b é o vector correspondente aos termos independentes (100 e 10).
Sendo do tipo Ax=b a instrução a usar no Matlab é: x=A\b. Vamos ver:
A=[7 8; 2 -9];
b=[100; 10];
x=A\b
x =
   12.4051
    1.6456
Como se vê não foi necessária muita ginástica mental, a instrução \ resolveu tudo num instante!
Para verificar se os resultados estão certos basta fazer a operação inversa:
b=A*x
b =
  100.0000
   10.0000

quinta-feira, 22 de maio de 2014

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Esta ferramenta é muito importante quando trabalhamos com sistemas de equações lineares. Vai ser igualmente importante quando estivermos a fazer a análise multivariada de dados matriciais (veremos este tópico um pouco mais adiante com dados reais).

Condição fundamental para executar a multiplicação de duas matrizes:

Para que  [C]=[A]x[B] o número de colunas de [A] tem que ser igual ao número de linhas de [B].

Também podemos multiplicar uma matriz por um escalar.

Vejamos uns exemplos concretos, começando pela multiplicação de uma matriz por um escalar.

Definimos a matriz A:  

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] (não esquecer os espaços entre os algarismos e os ; que separam cada linha)

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

A seguir definimos um escalar:

e=7  (por uma questão de comodidade uso letras minúsculas para os escalares)

e =

     7

A seguir faz-se a multiplicação





C=A*e

Obtendo-se o respectivo resultado:

C =

     7    14    21
    28    35    42
    49    56    63


Como se pode ver cada elemento da matriz inicial A foi multiplicado pelo escalar (7). Um curiosidade apenas: como a matriz criada tem uma sucessão de números inteiros de 1 a 9 ao multiplicarmos essa matriz pelo valor 7 obtemos uma nova matriz que corresponde à tabuada dos 7 (faltando apenas o resultado 70).

Vamos definir uma segunda matriz B:

B=[10 11 12;13 14 15;16 17 18]

B =

    10    11    12
    13    14    15
    16    17    18

A e B são matrizes com a mesma dimensão e portanto estão em condições para poderem ser multiplicadas.

 D =

    84    90    96
   201   216   231
   318   342   366

Para quem não se lembra da regra da multiplicação de matrizes: o elemento (1,1) da matriz A multiplica o elemento (1,1) da matriz B; o elemento (1,2) da matriz A multiplica o elemento (2,1) da matriz B; o elemento (1,3) da matriz A multiplica o elemento (3,1) da matriz B. A seguir todos os valores destas multiplicações são somados e inseridos na posição (1,1) da matriz D. O processo repete nesta ordem até estarem todas as posições da matriz D ocupadas.

Para matrizes com dimensões diferentes:

F=[19 20 21;22 23 24;25 26 27]

F =

    19    20    21
    22    23    24
    25    26    27

G=[28 29;30 31;32 33]

G =

    28    29
    30    31
    32    33

O resultado será:

H=F*G

H =

        1804        1864
        2074        2143
        2344        2422

Verifica-se pois que a matriz que resulta desta multiplicação (a H) tem formato igual ao da matriz mais pequena (a G), uma vez que na multiplicação de matrizes a regra geral é "cada elemento de uma linha de uma matriz vai multiplicar todos os elementos de uma coluna de outra matriz".
Será comutativa esta operação?

Aqui não podemos multiplicar G*F porque as dimensões não são compatíveis, mas podemos usar o exemplo anterior em que A e B têm as mesmas dimensões:

I=B*A

I =

   138   171   204
   174   216   258
   210   261   312

e comparando com D

D =

    84    90    96
   201   216   231
   318   342   366

Verificamos que I é diferente de D.

terça-feira, 20 de maio de 2014

OPERAÇÕES ELEMENTARES COM MATRIZES (2)

Produtos de vectores e transposição de matrizes

Existe um conjunto de regras importantes a fixar:

1) um vector linha e um vector coluna com a mesma dimensão podem ser multiplicados entre si;

2) quando multiplicamos um vector linha por um vector coluna obtemos um escalar;

3) quando multiplicamos um vector coluna por um vector linha obtemos uma matriz com as dimensões correspondentes às dos vectores multiplicados;

4) não podemos multiplicar dois vectores colunas entre si o mesmo, sendo verdade, para a multiplicação de dois vectores linha;

5) todavia, a multiplicação entre dois vectores linha ou coluna pode ser feita se usarmos a operação de transposição;

6) a multiplicação entre um vector coluna transposto e outro vector coluna (não transposto) é igual a um escalar. Esta multiplicação goza da propriedade comutativa, isto é, podemos multiplicar o segundo vector coluna transposto pelo primeiro vector coluna não transposto e o resultado será um escalar de valor igual ao anterior. 

Vou colocar aqui um exemplo que ilustre a regar mais complexa (a 6)):

Seja

X=[2;0;1]

X =

     2
     0
     1

e
Y=[3;2;1]

Y =

     3
     2
     1

Se eu fizer X*Y obtenho obviamente uma mensagem de erro:
Error using  *
Inner matrix dimensions must agree.

Mas se usar a operação de transposição já posso multiplicar estes dois vectores:

X'

ans =

     2     0     1

Z=X'*Y

Z =

     7

Y'

ans =

     3     2     1

Z=Y'*X

Z =

     7

Z tem o valor 7 e é igual independentemente da ordem pela qual os vectores são multiplicados, desde que se multiplique o vector coluna transposto pelo vector coluna não transposto.  


OPERAÇÕES ELEMENTARES COM MATRIZES (1)

No Matlab define-se uma matriz (matrix no plural matrices) como sendo um conjunto de dados representado por números reais ou complexos que estão organizados numa grelha bidimensional (linhas por colunas). É usado o termo array como correspondendo a um vector (definido por números), uma matriz ou uma malha de dados com dimensões elevadas. Poderá dizer-se que o termo array é mais genérico, enquanto que o termo matrix é mais específico.

Vamos começar com o exemplo de uma matriz 3X3 (simétrica) obtida do conhecido triângulo de Pascal. Para isso, no Matlab basta fazer:

A=pascal(3)

 A =

     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

Podemos chamar também a nossa conhecida matriz mágica:

B=magic(3)

 B =

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

Como regras fundamentais não devemos nunca esquecer que:

u=[3; 1; 4], representa um vector coluna, ou seja,

 u =

     3
     1
     4

v=[2 0 -1], representa um vector linha, ou seja,

 v =

     2     0    -1

e que s=7 representa um escalar.

Vamos agora somar duas matrizes (a pascal(3) e a magic(3)):


A=pascal(3);
B=magic(3);
X=A+B

X =

     9     2     7
     4     7    10
     5    12     8

somou as matrizes elemento a elemento.

O mesmo se pode dizer com a subtracção:


Y=X-A

Y =

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

Para isto é indispensável ter matrizes com a mesma dimensão!

Podemos também somar um escalar com um vector (ou fazer uma subtracção):

s=7

s =

     7

w=v+s  (em que o v foi definido anteriormente v=  2     0    -1 )
  

w =

     9     7     6

Podemos também usar o vector coluna u definido anteriormente:


h=u+s

h =

    10
     8
    11

UMA SEMANA DE CHUVA, por Miguel Esteves Cardoso

Voltou a chover. Vai continuar a chover. Não se via tal escândalo desde o ano passado, por esta altura exacta do mês de Maio.
A única diferença foi que, no ano passado, choveu no Domingo à noite, molhando a Procissão das Velas. Este ano não choveu e a procissão seguiu com todo o esplendor.
Este ano a chuva esperou pela Nossa Senhora de Fátima. O ano passado uma vizinha nossa teve de ralhar com a Banda: "Então não tocam ao menos 'A Miraculosa' para a Nossa Senhora não ir desgostosa para a igreja?"
Mas a Banda da Sociedade Recreativa e Musical de Almoçageme respondeu com nobreza ao apelo e tocou A Miraculosa como se estivesse uma tarde de sol.
Tal como o ano passado, depois de um fim-de-semana de praia, anda toda a gente espantada, ainda de calções e havaianas, a perguntar-me se eu já sei que vem aí uma semana de chuva.
Também costuma ser esta a semana em que alguém não muito longe de mim começa a dizer que este ano não vai haver cerejas por causa desta chuva, não obstante haver sempre cerejas todos os anos.
Na segunda metade de Maio declara-se, no primeiro dia de calor que o calor "chegou". Este "chegou" é dito com tal veemência que dispensa acrescentar o "para sempre".
Quando o calor que chegou se vai embora toda a gente se sente traída. Não é assim que o calor se deveria comportar. Os passarinhos, as borboletas e as rosas reagem com naturalidade, para não dizer indiferença. E continuam. Nós não. Fomos interrompidos e ficamos fulos.

segunda-feira, 19 de maio de 2014

MATRIZES MULTIDIMENSIONAIS

Frequentemente são utilizados muitos conjuntos de dados que expressam a variação de um parâmetro físico ao longo do tempo. Vejamos o exemplo simples da variação da temperatura de uma sala aula ao longo do dia. Esta temperatura pode variar devido a vários factores, como a entrada e saída de alunos na sala ou até pelo simples facto da sala estar mais ou menos exposta à radiação solar ao longo do dia. Mas para já não nos vamos preocupar com as causas dessa variação. O que interessa aqui é o seguinte: Temos um espaço onde é medida essa temperatura que pode ser representada por uma grelha rectangular de pontos (espaço bidimensional). Adicionalmente, existe a variação da temperatura ao longo do tempo. Imaginemos então que a nossa malha de pontos de medição da temperatura é uma matriz 4x4 e que os valores inscritos nessa matriz correspondem aos valores da matriz mágica (instrução magic (4)). Imaginemos, ainda, que os valores medidos correspondem às permutações das colunas de uma matriz de 4x4, ou seja, utilizando a linguagem combinatória isso equivale a dizer que temos 4! de permutações (4!=4x3x2x1=24).

No editor do Matlab podemos escrever um programa simples que vai fazer estas permutas:

 p=perms(1:4); % vai fazer a permutação das colunas de uma matriz (4x4), ou seja, são no total 4! de permutações (4!=4x3x2x1=24)
A=magic(4); % define a matriz mágica
M=zeros(4,4,24); % representa o novo conjunto de 24 matrizes (de 4x4) que resultam das 4!      permutações
for k=1:24 % inicia um ciclo com as 24 permutações (de 1 a 24)
    M(:,:,k)=A(:,p(k,:)); % são trocadas sucessivamente todas as colunas da matriz de 4x4 tal como      figura na instrução p associada ao índice j da notação matricial
end % fim do ciclo

E os resultados são:

 val(:,:,1) =

    13     3     2    16
     8    10    11     5
    12     6     7     9
     1    15    14     4


val(:,:,2) =

    13     3    16     2
     8    10     5    11
    12     6     9     7
     1    15     4    14


val(:,:,3) =

    13     2     3    16
     8    11    10     5
    12     7     6     9
     1    14    15     4


val(:,:,4) =

    13     2    16     3
     8    11     5    10
    12     7     9     6
     1    14     4    15


val(:,:,5) =

    13    16     2     3
     8     5    11    10
    12     9     7     6
     1     4    14    15


val(:,:,6) =

    13    16     3     2
     8     5    10    11
    12     9     6     7
     1     4    15    14


val(:,:,7) =

     3    13     2    16
    10     8    11     5
     6    12     7     9
    15     1    14     4


val(:,:,8) =

     3    13    16     2
    10     8     5    11
     6    12     9     7
    15     1     4    14


val(:,:,9) =

     3     2    13    16
    10    11     8     5
     6     7    12     9
    15    14     1     4


val(:,:,10) =

     3     2    16    13
    10    11     5     8
     6     7     9    12
    15    14     4     1


val(:,:,11) =

     3    16     2    13
    10     5    11     8
     6     9     7    12
    15     4    14     1


val(:,:,12) =

     3    16    13     2
    10     5     8    11
     6     9    12     7
    15     4     1    14


val(:,:,13) =

     2     3    13    16
    11    10     8     5
     7     6    12     9
    14    15     1     4


val(:,:,14) =

     2     3    16    13
    11    10     5     8
     7     6     9    12
    14    15     4     1


val(:,:,15) =

     2    13     3    16
    11     8    10     5
     7    12     6     9
    14     1    15     4


val(:,:,16) =

     2    13    16     3
    11     8     5    10
     7    12     9     6
    14     1     4    15


val(:,:,17) =

     2    16    13     3
    11     5     8    10
     7     9    12     6
    14     4     1    15


val(:,:,18) =

     2    16     3    13
    11     5    10     8
     7     9     6    12
    14     4    15     1


val(:,:,19) =

    16     3     2    13
     5    10    11     8
     9     6     7    12
     4    15    14     1


val(:,:,20) =

    16     3    13     2
     5    10     8    11
     9     6    12     7
     4    15     1    14


val(:,:,21) =

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1


val(:,:,22) =

    16     2    13     3
     5    11     8    10
     9     7    12     6
     4    14     1    15


val(:,:,23) =

    16    13     2     3
     5     8    11    10
     9    12     7     6
     4     1    14    15


val(:,:,24) =

    16    13     3     2
     5     8    10    11
     9    12     6     7
     4     1    15    14

Ou seja, temos um conjunto de 24 matrizes que podiam representar a variação da temperatura de uma sala de aula, de hora a hora, em 24 horas e medida em 16 pontos diferentes (matriz 4x4).

   

sexta-feira, 16 de maio de 2014

Dias quentes de Maio (16)

Hoje, dia 16 de Maio, o céu estava parcialmente nublado em Lisboa. Estamos a entrar no fim de um ciclo de dias quentes que é anunciado pelo desenvolvimento de uma baixa pressão em altitude, transportando ar húmido vindo do Atlântico. A pouco e pouco, o ar quente e seco vindo de leste, deixará de circular e a temperatura baixará com o aumento correspondente da humidade.
Por volta das 14 horas o céu de Lisboa estava assim:



Observa-se a presença de algumas nuvens de desenvolvimento vertical (cúmulos-nimbos), como que anunciando a chegada de alguma chuva e trovoada (situação típica do mês de Maio). 

A imagem de satélite correspondente mostra bem a formação destas nuvens que sobressaem bem na imagem captada por infravermelho:


Por sua vez, a situação sinóptica mostra bem a formação da baixa-pressão em altitude, sendo visível que à superfície ainda se mantinha a corrente geral de leste de ar seco e quente, oriundo do Norte de África e com circulação pelo interior da Península Ibérica - aquele ar com o cheiro típico das planícies da Meseta Ibérica meridional:


 
Todo o conjunto de altas pressões e respectivas cristas vai desaparecer nos próximos dias e o ar frio e húmido vai invadir toda a orla ocidental da Península Ibérica, com a chegada de uma baixa-pressão vinda de norte. 



A operação "CONCATENATION"

É o processo que permite juntar pequenas matrizes para fazer umas maiores:

Temos a nossa matriz mágica inicial (4x4):




E agora vamos usar a operação "concatenation" cujo operador é designado por [ ]. Ora bem, a nossa matriz inicial 4x4 vai ser transformada numa de 8x8 fazendo uma conjunto de operações de soma algébrica, seguindo a instrução abaixo:

B=[A  A+32; A+48  A+16]  isto significa que a matriz inicial vai sofrer uma transformação em que numa primeira fase "cresce para a direita", isto é, as quatro colunas vão ser replicadas através da soma do valor 32 (A+32) - estamos a crescer somando a todas as colunas o valor 32. Na segunda fase uma operação idêntica é realizada mas no sentido das linhas e somando o valor 48 a todas as células respectivas. Neste caso estamos a fazer crescer a matriz "para baixo". Na terceira fase vamos somar a todas as células iniciais o valor 16 ocupando o espaço 4x4 na posição direita inferior (espaço que faltava para obtermos a matriz 8x8). E o resultado final é:



Simples e eficaz!

Os chamados "subscripts" no Matlab

Os "subsripts" são muito importantes para localizar as células de uma matriz de dados e, também, para se poder fazer operações matemáticas utilizando células específicas da nossa matriz. É preciso ter em mente que a regra no Matlab para localizar um elemento (ou célula) de uma matriz é a seguinte: A(i,j) em que i simboliza a linha e j a coluna. Assim, considerando a nossa matriz "magic square", qual será o número inscrito na posição A(4,2)? Vamos recordar a matriz mágica A:


Respeitando a regra acima descrita facilmente se deduz que a célula procurada se encontra na linha 4 e na coluna 2, ou seja, trata-se da célula que tem o valor 15. 
E se quisermos somar todos os valores de uma coluna usando esta notação? Faz-se assim:
A(1,4) + A(2,4) + A (3,4) + A (4,4) = 34. Estamos aqui a somar todos os valores de uma coluna (a 4.ª) e como se trata de uma matriz mágica o valor 34 será sempre igual independentemente da linha, coluna ou diagonal que escolhermos!
Mas o Matlab está cheio de surpresas, e neste campo existe uma forma mais elegante de localizar células específicas usando uma notação muito mais simplificada. O Matlab considera que as células de uma matriz são ordenadas por números inteiros crescentes seguindo coluna a coluna, da esquerda para a direita, isto é:

  
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12

Assim, a matriz mágica pode ser considerada como um vector coluna de grande dimensão "one long column vector". A posição A (4,2) será então equivalente, na nova notação, a A (8) .

Podemos também acrescentar uma nova coluna seguindo qualquer uma das notações anteriormente descritas:

X=A
X (4,5) =17 de reparar que não existe a 5.ª coluna na nossa matriz mágica de 4x4, mas o Matlab cria esta coluna preenchendo com zeros todas as células que não correspondem às coordenadas (4,5) e colocando 17 nessa posição:

 X(4,5)=17

X =

    16     2     3    13     0
     5    11    10     8     0
     9     7     6    12     0
     4    14    15     1    17

Se eu quiser usar a notação mais simples e quiser colocar o valor 18 em vez do 17 faço assim:

X(20)=18

X =

    16     2     3    13     0
     5    11    10     8     0
     9     7     6    12     0
     4    14    15     1    18

Tudo é muito simples neste mundo matemático matricial em ambiente Matlab!




Operações com matrizes mágicas de grandes dimensões

O Matlab permite fazer este tipo de operações de uma forma muito simples. Apenas temos que usar a instrução "magic" e definir a dimensão da matriz. Começamos por nomear a nossa matriz (A) e fazemos: A=magic(1000) - esta é uma matriz mágica de 1000 linhas por 1000 colunas E podemos fazer o mesmo tipo de cálculos para verificar o efeito mágico (igualdade nas somas das linhas, das colunas e das diagonais) sum(A) - vai somar todas as colunas e o número que dá é igual a 500000500 sum(A')' - vai somar todas a colunas da matriz transporta o que equivale a dizer que soma todas as linhas da matriz inicial. O resultado é o mesmo: 500000500

quinta-feira, 15 de maio de 2014

A utilidade da representação das variações em escalas aritmética e logarítmica

Com o Matlab a visualização gráfica destas escalas é muito fácil desde que se apliquem os princípios simples desta linguagem.

O primeiro passo consiste na definição do intervalo de variação do nosso "vector coluna" que corresponderá à escala aritmética, isto é, antes da transformação logarítmica:

  x=(0:0.1:4)';

Aqui escolhemos só valores positivos para evitar a indeterminação do logaritmo 0  e só vamos até ao valor 4. Como queremos uma matriz a uma coluna temos que usar a plica (').

Vamos transformar a matriz x utilizando o operador logaritmo de base 10:

logs=[x; (log10(x))]

Esta operação vai gerar uma matriz de 41 linhas por 2 colunas (uma com o passo aritmético e outra com o passo logarítmico) que não vamos aqui representar para isto não ficar com o aspecto de uma folha de cálculo.

Depois é só aplicar a função "plot" para obter o gráfico:

plot (x,logs)

E o resultado é:


De uma forma simples podemos facilmente ver como varia a transformação logarítmica em comparação com a variação de uma progressão aritmética de passo igual a 0.1.
Os matemáticos poderão mais facilmente explicar a aplicabilidade directa desta função nas mais variadas situações!