quinta-feira, 22 de maio de 2014

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Esta ferramenta é muito importante quando trabalhamos com sistemas de equações lineares. Vai ser igualmente importante quando estivermos a fazer a análise multivariada de dados matriciais (veremos este tópico um pouco mais adiante com dados reais).

Condição fundamental para executar a multiplicação de duas matrizes:

Para que  [C]=[A]x[B] o número de colunas de [A] tem que ser igual ao número de linhas de [B].

Também podemos multiplicar uma matriz por um escalar.

Vejamos uns exemplos concretos, começando pela multiplicação de uma matriz por um escalar.

Definimos a matriz A:  

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] (não esquecer os espaços entre os algarismos e os ; que separam cada linha)

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

A seguir definimos um escalar:

e=7  (por uma questão de comodidade uso letras minúsculas para os escalares)

e =

     7

A seguir faz-se a multiplicação





C=A*e

Obtendo-se o respectivo resultado:

C =

     7    14    21
    28    35    42
    49    56    63


Como se pode ver cada elemento da matriz inicial A foi multiplicado pelo escalar (7). Um curiosidade apenas: como a matriz criada tem uma sucessão de números inteiros de 1 a 9 ao multiplicarmos essa matriz pelo valor 7 obtemos uma nova matriz que corresponde à tabuada dos 7 (faltando apenas o resultado 70).

Vamos definir uma segunda matriz B:

B=[10 11 12;13 14 15;16 17 18]

B =

    10    11    12
    13    14    15
    16    17    18

A e B são matrizes com a mesma dimensão e portanto estão em condições para poderem ser multiplicadas.

 D =

    84    90    96
   201   216   231
   318   342   366

Para quem não se lembra da regra da multiplicação de matrizes: o elemento (1,1) da matriz A multiplica o elemento (1,1) da matriz B; o elemento (1,2) da matriz A multiplica o elemento (2,1) da matriz B; o elemento (1,3) da matriz A multiplica o elemento (3,1) da matriz B. A seguir todos os valores destas multiplicações são somados e inseridos na posição (1,1) da matriz D. O processo repete nesta ordem até estarem todas as posições da matriz D ocupadas.

Para matrizes com dimensões diferentes:

F=[19 20 21;22 23 24;25 26 27]

F =

    19    20    21
    22    23    24
    25    26    27

G=[28 29;30 31;32 33]

G =

    28    29
    30    31
    32    33

O resultado será:

H=F*G

H =

        1804        1864
        2074        2143
        2344        2422

Verifica-se pois que a matriz que resulta desta multiplicação (a H) tem formato igual ao da matriz mais pequena (a G), uma vez que na multiplicação de matrizes a regra geral é "cada elemento de uma linha de uma matriz vai multiplicar todos os elementos de uma coluna de outra matriz".
Será comutativa esta operação?

Aqui não podemos multiplicar G*F porque as dimensões não são compatíveis, mas podemos usar o exemplo anterior em que A e B têm as mesmas dimensões:

I=B*A

I =

   138   171   204
   174   216   258
   210   261   312

e comparando com D

D =

    84    90    96
   201   216   231
   318   342   366

Verificamos que I é diferente de D.

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